Question

已知数列{a_n^}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），且a₄=81
（1）求数列的前三项a₁、a₂、a₃的值；
（2）是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；求数列a_n通项公式．

Answer

（1）直接把n=3，2，1代入an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），再借助于a4=81，即可求出数列的前三项；
（2）先假设存在一个实数λ符合题意，得到必为与n无关的常数，整理即可求出实数λ，进而求出数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）由an=2an-1+2n-1（n≥2）⇒a4=2a3+24-1=81⇒a3=33
同理可得a2=13，a1=5（3分）
（2）假设存在一个实数λ符合题意，则必为与n无关的常数
∵（5分）
要使是与n无关的常数，则，得λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列为等差数列（8分）
由（2）知数列的公差d=1，∴
得an=（n+1）•2n+1（13分）