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已知命题p:“∀x∈[1,2],manfen5.com 满分网x2-ln x-a≥0”与命题q:“∃x∈R,x2+2ax-8-6a=0”都是真命题,求实数a的取值范围.
本题考查的一元二次不等式的解法,及一元二次方程的根的分布与系数的关系.由命题p:“∀x∈[1,2],x2-ln x-a≥0”是真命题,则a≤x2-lnx,x∈[1,2],即a小于等于函数y=x2-lnx,x∈[1,2]的最小值;由命题q:“∃x∈R,x2+2ax-8-6a=0”是真命题,则方程x2+2ax-8-6a=0的判别式△=4a2+32+24a≥0,然后构造不等式组,解不等式组,即可得到答案. 【解析】 ∵∀x∈[1,2],x2-lnx-a≥0, ∴a≤x2-lnx,x∈[1,2], 令f(x)=x2-lnx,x∈[1,2], 则f′(x)=x-, ∵f′(x)=x->0(x∈[1,2]), ∴函数f(x)在[1,2]上是增函数、 ∴f(x)min=,∴a≤. 又由命题q是真命题得△=4a2+32+24a≥0, 解得a≥-2或a≤-4. 因为命题p与q均为真命题, 所以a的取值范围为(-∞,-4]∪[-2,]
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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