Question

已知命题p：“∀x∈[1，2]，x²-ln x-a≥0”与命题q：“∃x∈R，x²+2ax-8-6a=0”都是真命题，求实数a的取值范围．

Answer

本题考查的一元二次不等式的解法，及一元二次方程的根的分布与系数的关系．由命题p：“∀x∈[1，2]，x2-ln x-a≥0”是真命题，则a≤x2-lnx，x∈[1，2]，即a小于等于函数y=x2-lnx，x∈[1，2]的最小值；由命题q：“∃x∈R，x2+2ax-8-6a=0”是真命题，则方程x2+2ax-8-6a=0的判别式△=4a2+32+24a≥0，然后构造不等式组，解不等式组，即可得到答案．
【解析】
∵∀x∈[1，2]，x2-lnx-a≥0，
∴a≤x2-lnx，x∈[1，2]，
令f（x）=x2-lnx，x∈[1，2]，
则f′（x）=x-，
∵f′（x）=x-＞0（x∈[1，2]），
∴函数f（x）在[1，2]上是增函数、
∴f（x）min=，∴a≤．
又由命题q是真命题得△=4a2+32+24a≥0，
解得a≥-2或a≤-4．
因为命题p与q均为真命题，
所以a的取值范围为（-∞，-4]∪[-2，]