Question

在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根．现将它们堆放在一起．
（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案？
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？

Answer

（1）根据题意列出前n层可以堆积的圆钢的总数，列出不等式解不等式可得出答案；
（2）（Ⅰ）根据题中要求的堆积方式写出堆积的总圆钢数关于层数n的关系式，再根据n与2x+n-1的奇偶性不同讨论可能的堆积方案；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中求得的四种堆积方案以及题中圆钢的直径和堆积要求分别讨论符合条件的堆积方案，便可求出选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地
【解析】
（1）由题意可知：第一层放1根，第二层放2根，第三层放3根，…第n层放n根，
∴n层一共放了Sn=根圆钢，
由题意可知Sn=≤2000，
解不等式得当n=62时，使剩余的圆钢尽可能地少，
此时剩余了56根圆钢；
（2）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，
从而nx+n（n-1）=2009，
即n（2x+n-1）=2×2009=2×7×7×41，
因n-1与n的奇偶性不同，
所以2x+n-1与n的奇偶性也不同，
且n＜2x+n-1，从而由上述等式得：
或或或，
所以共有4种方案可供选择．（6分）
（3）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：
若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为200cm，
而200+10+10＜400，所以符合条件；
若n=49，则x=17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为240cm，显然大于4m，
不合条件，舍去；
综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地（6分）．