Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n，T_n=S_2n-S_n．
（1）求证：数列为等差数列，并求通项b_n；
（2）求证：T_n+1＞T_n；
（3）求证：当n≥2时，．

Answer

（1）将bn=an-1代入2an=1+anan+1，可得bn的递推关系式，整理变形可得，由等差数列的定义可得为等差数列，故可求其通项公式，进而求出bn．
（2）结合（1）中的结论，写出Tn+1-Tn的表达式，利用放缩法证明该差大于0即可．
（3）利用叠加法把转化为++…+T2+T1+S1的形式，再结合（2）中的结论，利用Tn的单调性证明不等式．
【解析】
（1）由bn=an-1，得an=bn+1，代入2an=1+anan+1，
得2（bn+1）=1+（bn+1）（bn+1+1），
∴bnbn+1+bn+1-bn=0，从而有，
∵b1=a1-1=2-1=1，
∴是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，即；（5分）
（2）∵，
∴，
，，
∴Tn+1＞Tn；（10分）
（3）∵n≥2，
∴
=++…+T2+T1+S1．
由（2）知≥≥…≥T2≥T1≥S1，
∵，
∴=++…+T2+T1+S1
≥（n-1）T2+T1+S1==．（16分）