Question

已知函数f（x）=2^2x-2^x+1+2，定义域为M，值域为[1，2]，则下列说法中一定正确的序号是   
（1）M=[0，2]；（2）M=（-∞，1]；（3）M⊆（-∞，1]；（4）0∈M；（5）1∈M．

Answer

可先研究值域为[1，2]时函数的定义域，再研究使得值域为[1，2]的函数的最小的自变量的取值集合，研究函数值为1，2时对应的自变量的取值，由此即可判断出正确结论的序号．
【解析】
由于f（x）=22x-2x+1+2=（2x-1）2+1∈[1，2]，
∴2x-1∈[-1，1]，即2x∈[0，2]
∴x∈（-∞，1]即函数f（x）=22x-2x+1+2的定义域（-∞，1]；
当函数的最小值为1时，仅有x=0，
故 （4）0∈M 正确，
当函数值为2时，仅有x=1满足，故（5）1∈M正确
又必有M⊆（-∞，1]；  故（3）正确
当M=[0，1]时，此时函数的值域是[1，2]，∴M=（-∞，1]不一定正确，故（2）错误； 
当x=2时，函数值为10，故 （1）M=[1，2]不正确  
综上，一定正确的结论的序号是（3）（4）（5）；