Question

已知直线l₁经过两点A（3，4），B（0，-5）．
（1）求直线l₁关于直线l：y=x对称的直线l₂方程；
（2）直线l₂上是否存在点P，使点P到点F（1，0）的距离等于到直线l：x=-1的距离，如果存在求出P点坐标，如果不存在说明理由．

Answer

（1）先利用点斜式求得直线l1的方程，再利用关于直线y=x对称的直线的特点，求出直线l2方程，也可理解为求一次函数的反函数；
（2）先利用抛物线的定义，证明点P一定在抛物线y2=4x上，故只需求直线l2与抛物线的交点即可，通过联立两曲线方程即可解得符合条件的点的坐标
【解析】
（1）直线l1的斜率为，
由点斜式得直线l1的方程为y+5=3x，即3x-y-5=0．
∵点（x，y）关于y=x对称的点为（y，x）
∴将已知直线的x、y互换即得对称直线方程
∴直线l1关于直线l：y=x对称的直线l2方程为x-3y+5=0．
（2）假设存在符合条件的点P，因为点P到点F（1，0）的距离等于到直线l：x=-1的距离，
∴由抛物线的定义可知，点P在抛物线y2=4x上，
又∵点P在直线l2上，∴由，
消去x得，y2-12y+20=0，解得y1=2，y2=10，
则x1=1，x2=25，
∴存在符合条件的点P，其坐标分别为P（1，2）或（25，10）．