Question

已知动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若点M是圆C：x²+（y-3）²=1上的动点，求|PM|+|PF|的最大值及此时的P点坐标．

Answer

（1）根据动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为，建立方程，化简可得动点P的轨迹方程；
（2）根据点M是圆C：x2+（y-3）2=1上的动点，可得|PM|≤|PC|+1，设椭圆的左焦点为F1（-1，0），依据椭圆的定义知，|PF|=4-|PF1|，从而|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF1|=|PC|-|PF1|+5≤|CF1|+5，根据当点P是CF1延长线与椭圆的交点时，|PC|-|PF1|取得最大值，即可求得|PM|+|PF|的最大值，进而可得P点坐标．
【解析】
（1）设P（x，y），由题意得：，化简可得
∴动点P的轨迹方程为----（5分）
（2）∵点M是圆C：x2+（y-3）2=1上的动点，∴|PM|≤|PC|+1，-------（6分）
设椭圆的左焦点为F1（-1，0），依据椭圆的定义知，|PF|=4-|PF1|，------（7分）
∴|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF1|=|PC|-|PF1|+5≤|CF1|+5，
当点P是CF1延长线与椭圆的交点时，|PC|-|PF1|取得最大值，
∴|PM|+|PF|的最大值为，------（10分）
此时直线CF1的方程是y=3x+3，
点P的坐标是方程组的解，消去y得，13x2+24x+8=0，----（11分）
解得，
∴，，----（13分）
此时的P点坐标为（，）．-------------（14分）