Question

如图，在三棱柱BCD-B₁C₁D₁与四棱锥A-BB₁D₁D的组合体中，已知BB₁⊥平面BCD，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=2，AD=4，BB₁=1．
设O是线段BD的中点．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）证明：平面AB₁D₁⊥平面ADD₁．

Answer

（1）取B1D1的中点E，连接C1E，OA，易证C1EAO为平行四边形，从而得而C1O∥EA，利用线面平行的判定定理即可；
（2）可根据∠ABC=120°，AB=2，AD=4，证得∠ABD=，即BD⊥AD，进一步可证BD⊥DD1，从而证得BD⊥平面ADD1，BD∥B1D1，于是得B1D1⊥平面ADD1，利用面面垂直的判定定理可得结论．
（1）证明：取B1D1的中点E，连接C1E，OA，则A，O，C共线，且C1E=OA，--（1分）
∵BCD-B1C1D1为三棱柱，
∴平面BCD∥平面B1C1D1，
故C1E∥OA，----（3分）
∴C1EAO为平行四边形，
从而C1O∥EA．-----------（5分）
又∵C1O⊄平面AB1D1，EA⊂平面AB1D1，
∴C1O∥平面AB1D1．----------（7分）
（2）证明：∵∠ABC=120°，AB=2，AD=4，
∴，
∴AD2=16=AD2+BD2，∠ABD=，
即BD⊥AD，----------（10分）
又BB1⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，BB1⊥BD，
在三棱柱BCD-B1C1D1中，BB1∥DD1，则BD⊥DD1，
而DD1∩AD=D，
∴BD⊥平面ADD1，-------（12分）
又BD∥B1D1，得B1D1⊥平面ADD1，
而B1D1⊂平面AB1D1，
∴平面AB1D1⊥平面ADD1．--------（14分）