Question

如图，三角ABC是边长为4正三角形，PA⊥底面ABC，，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥AC．
（1）证明：DE⊥平面PAC；
（2）求直线AD和平面PDE所成角的正弦值．

Answer

（1）直接根据PA⊥底面ABC得到PA⊥DE；再结合DE⊥AC即可证明结论；
（2）方法一：先结合第一问的结论得到平面PDE⊥平面PAC；再点A作AF⊥PE，连接DF，根据条件推得∠ADF为直线AD和平面PDE所成角的平面角，最后在三角形中求出∠ADF解．
方法二：建立空间直角坐标系，求出直线的对应向量坐标，在求出平面的法向量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可．
【解析】
（1）∵PA⊥底面ABC，DE⊂底面ABC，
∴PA⊥DE，-------------------（2分）
又DE⊥AC，PA∩AC=A，
∴DE⊥平面PAC．------------------（4分）
（2）方法一：由（1）知，DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAC．
过点A作AF⊥PE，连接DF．-------------------（6分）
∵平面PDE⊥平面PAC，平面PDE∩平面PAC=PE，AF⊂平面PAC，
∴AF⊥平面PDE，------（8分）
∴∠ADF为直线AD和平面PDE所成角的平面角．----------（10分）
∵△ABC是边长为4的正三角形，
∴，．
又∵，所以 ，，
∴．-------（13分）
即直线AD和平面PDE所成角的正弦值为．-------------（14分）
方法二：如图所示，以点A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立如图空间直角坐标系-----（2分）
∵在正三角形△ABC中，DE⊥AC，
∴，AE=3，
∴A（0，0，0），，，．-----（6分）
易知 ，，．---（8分）
设 n=（x，y，z）是平面PDE的一个法向量，则
解得 ，．
故可取 ．-------（11分）
于是==．------（13分）
由此即知，直线AD和平面PDE所成角的正弦值为．-----------（14分）