Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱AB，BC上异于端点的点，
（1）证明△B₁MN不可能是直角三角形；
（2）如果M，N分别是棱AB，BC的中点，
（ⅰ）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（ⅱ）若在棱BB₁上有一点P，使得B₁D∥面PMN，求B₁P与PB的比值．

Answer

（1）对于确定性问题，我们可以使用反证明来进行证明，假设△B1MN是直角三角形，然后根据正方体的几何特征，及线面垂直的判定及性质我们易得到△B1MN中会出现两个直角，从而得到矛盾，进而得到原结论△B1MN不可能是直角三角形；
（2）连接MN，设MN∩BD=Q，（ⅰ）由正方形的几何性质，我们易得AC⊥BD，MN⊥BD，则DD1⊥面ABCD，再由DD1⊥MN，结合线面垂直的判定定理，即可得到平面B1MN⊥平面BB1D1D；（ⅱ）连接PM，PN，由B1D∥面PMN，由线面平行的性质，我们易得BD1∥PQ，然后根据平行线分线段成比例定理，得到B1P与PB的比值．
【解析】
（1）用反证法．如果△B1MN是直角三角形，
不妨设，则MN⊥B1M，（1分）
而B1B⊥面ABCD，MN⊂面ABCD，∴B1B⊥MN，B1B∩B1M=B1，∴MN⊥面ABB1A1，∵AB⊂面ABB1A1，（2分）∴MN⊥AB，即，与矛盾！（3分）∴△B1MN不可能是直角三角形．（4分）
（2）连接MN，设MN∩BD=Q则MN∥AC（5分）
∴AC⊥BD，MN⊥BD（7分）
又∵DD1⊥面ABCD∴DD1⊥MN
∴平面B1MN⊥面BDD1（9分）
（3）连接PM，PN则面PMN∩面BDD1=PQ（10分）
当BD1∥PQ时，BD1∥面PMN（11分）
又M，N分别是AB，BC中点；．