Question

在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求CM与平面CDE所成角的大小．

Answer

（1）分别以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，写出要用的点的坐标，写出线对应的向量的坐标，根据两个向量的数量积等于0，得到结论．
（2）写出直线的方向向量，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，数量积等于0，得到两个关于法向量坐标的关系式，写出其中一个法向量，根据法向量与直线的夹角得到结果．
（1）分别以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz
设AE=a，则M（a，-a，0），E（0，-2a，a），
所以，
∴，
∴CM⊥EM．
（2），
设平面CDE的法向量=（x，y，z），
则有即令y=1，则=（-2，1，2），，
∴直线CM与平面CDE所成的角为45°