Question

已知椭圆的中心在原点，一个焦点F₁（0，-2），且离心率e满足：，e，成等比数列．
（1）求椭圆方程；
（2）直线y=x+1与椭圆交于点A，B．求△AOB的面积．

Answer

（1）依题意e=，F1（0，-2），c=2，a=3，b=1，由此能求出椭圆方程．
（2）由，得5x2+x-4=0，故|AB|=，又O到直线y=x+1的距离为，由此能求出△AOB的面积．
（本题满分12分）
【解析】
（1）∵，e，成等比数列，
∴，∴e=…（1分）．
∵椭圆的中心在原点，一个焦点F1（0，-2），
∴F1（0，-2），c=2…（2分），
∴a===3，b==1，…（4分）
∴所求方程为x2+y2=1．…（5分）
（2）由消去y，得5x2+x-4=0，…7分
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴|AB|==…（9分）
又O（0，0）到直线y=x+1的距离d==…（11分）
∴△AOB的面积S==．…（12分）