Question

如图，角α 的顶点在直角坐标原点、始边在y轴的正半轴、终边经过点P（-3，-4）．角β 的顶点在直角坐标原点、始边在x 轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且tanβ=-2．
（1）求角α 的正弦值；   
（2）求∠POQ的余弦值．

Answer

（1）由题意可求得cos （）=-，从而可求得sin（α）的值；
（2）法一：利用∠POQ=（）-β，利用两角和的余弦公式，可求得cos∠POQ=cos（-β）；
法二：由题意结合tanβ=-2，可在角β 的终边上取一点Q（-1，2），=（-1，2），=（-3，-4），∠POQ是与的夹角，利用向量法即可求∠POQ的余弦值．
【解析】
（1）依题意，角的顶点在直角坐标原点，始边在y轴的正半轴、终边经过点P（-3，-4），…2
∴|OP|=5，…3
∴cos （）=-，…5
∴sinα=，即角α 的正弦值为．
（2）法一：cos∠POQ=cos（-β）…8
=cos（）cosβ-sin（）sinβ…9
又cos （）=-，sin（）=-…10
∵tanβ=-2，β在第二象限，
∴sinβ=，cosβ=-，…11
∴cos∠POQ=（-）×（-）+（-）×=-，…12
（2）法二：∵角β 的顶点在直角坐标原点、始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，
且tanβ=-2，
∴可在角β 的终边上取一点Q（-1，2）．    …（8分）
∴=（-1，2），=（-3，-4），∠POQ是与的夹角． …（9分）
              …（10分）
==．               …（12分）
注：第（1）题以下解法给（3分），∵角α的终边经过点P（-3，-4），∴|OP|=5，∴，即角α 的正弦值为．第（2）题根据，计算全部正确的给（6分）．