Question

定义在R上的偶函数y=f（x）满足：
①对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）；
②当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有．
则：若方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，实数a的取值范围是    ．

Answer

由题意可得函数在[0，3]上单调递增，再由偶函数的图象关于y轴（x=0）对称，故在[-3，0]上为减函数．令x=-3求得f（3）=0，f（x+6）=f（x），f（x）是周期等于6的周期函数，故函数关于x=6对称，求得f（-9）=0，f（-3）=0，f（3）=0=f（6）=f（9），要使方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，则区间长度6-2a 满足 12≤6-2a＜15，
由此求得实数a的取值范围．
【解析】
∵当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有，可知函数在[0，3]上单调递增．
又f（x）为偶函数，图象关于y轴（x=0）对称，故在[-3，0]上为减函数．
令x=-3，则由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0
因为f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）+0=f（x），所以f（x）是周期等于6的周期函数，故函数关于x=6对称，
所以f（9）=0，
因为y=f（x）是R上的偶函数，f（-9）=0，f（-3）=0，
因为f（x）在[0，3]上是增函数，所以[0，3]上只有一解为3，对称性[-3，0]只有一解为-3，
因为f（x+6）=f（x）+f（3），且f（x）在[0，3]上是增函数，
所以f（x）在[6，9]上是增函数，所以[6，9]上只有一解为9，因为f（x）关于x=6对称，
所以f（x）在[3，6]上只有一解为3，
由对称性知[-9，-6]，[-6，-3]各只有一解-9，-3，
要使方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，则区间长度6-2a 满足 12≤6-2a＜15，解得-9＜a≤-3．
∴实数a的取值范围是（-9，-3]，
故答案为（-9，-3]．