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18、在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.
(1)求证:BC⊥平面PBD;
(2)设E为侧棱PC上一点,manfen5.com 满分网,试确定λ的值,使得二面角E-BD-P的大小为45°.

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(1)由题设条件可证得DP,DA,DC三线两两垂直,故可以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,按题中所给的条件,给出各点的坐标,求出直线BC的方向向量以及平面PBD的法向量,由数量积为0证明线面垂直. (2)由(1)中的坐标系,及E为侧棱PC上一点,,给出用参数表示的点E的坐标,求出两个平面EBD与平面PBD的法向量,由公式用参数表示出二面角的余弦值,再令其值是45°的余弦值,解出其参数值即可. 【解析】 (1)证明:平面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,所以PD⊥平面ABCD, 所以PD⊥AD.如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz. 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1)(6分)=(-1,1,0). 所以=0,BC⊥DB, 又由PD⊥平面ABCD,可得PD⊥BC,又BD∩PD=D 所以BC⊥平面PBD.(8分) (2)平面PBD的法向量为=(-1,1,0),,λ∈(0,1),所以E(0,2λ,1-λ), 设平面QBD的法向量为n=(a,b,c),=(0,2λ,1-λ) 由n•=0,n•=0,得所以, ∴,(10分) 由cos解得λ=-1(12分) (用传统方法解得答案酌情给分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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