Question

已知数列{a_n}满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为S_n，若对于一切n∈N^*，S_n＜M恒成立，试求最小的正整数M的值．

Answer

（1）由数列{an}满足，知=2n-1-1，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，知==，故Sn=b1+b2+…+bn=1+++…++，由裂项求和法得到Sn=3-．故（Sn）max=S1==4，对于一切n∈N*，Sn＜M恒成立，等价于M＞（Sn）max=4，由此能求出最小的正整数M的值．
【解析】
（1）∵数列{an}满足，
∴+=2n-1，①
=2n-1-1，②
①-②，得，
∴．
验证n=1时，an=1，成立，
∴数列{an}的通项公式．
（2）∵，
∴==，
∴Sn=b1+b2+…+bn=1+++…++，①
=+…++，②
①-②，得=+…+-
=-
=-．
∴Sn=3--=3-．
∴（Sn）max=S1==4，
∵对于一切n∈N*，Sn＜M恒成立，
∴M＞（Sn）max=4，
∴最小的正整数M的值为4．