Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，E，F分别是AB，PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线EF与CD所成的角；
（Ⅲ）求二面角F-EC-B的余弦值．

Answer

（I）判断PD、DC、DA两两互相垂直，以D为原点，建立空间直角坐标，用坐标表示点，求出直线EF的方向向量与平面PAD的法向量，从而可证EF∥平面PAD；
（II）求出直线EF的方向向量、直线CD的方向向量，利用向量夹角公式，即可求得直线EF与CD所成的角；
（III）求出平面ECB的法向量、平面ECF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角F-EC-B的余弦值．
（I）证明：∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴PD、DC、DA两两互相垂直                           …（1分）
∴以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则                …（2分）
E（2，1，0），F（1，1，1），C（0，2，0），D（0，0，0）…（3分）
直线EF的方向向量为，平面PAD的法向量为…（4分）
∵
∴EF∥平面PAD…（5分）
（II）【解析】
由（I）知，直线EF的方向向量为，…（6分）
直线CD的方向向量为，…（7分）
∵…（8分）
∴直线EF与CD所成的角为90°…（9分）
（III）P（0，0，2），B（2，2，0），E（2，1，0），F（1，1，1），C（0，2，0），D（0，0，0）
故，，则平面ECB的法向量为…（10分）
设平面ECF的法向量为，则，，令x=1，则y=2，z=1
故…（12分）
∵，由图可知，二面角F-EC-B为钝角，
∴二面角F-EC-B的余弦值为．…（14分）