Question

已知：函数，数列{a_n}对n≥2，n∈N总有；
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求和：S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1
（3）若数列{b_n}满足：①{b_n}为的子数列（即{b_n}中的每一项都是的项，且按在中的顺序排列）②{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为．这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer

（1）直接根据已知条件整理得到数列的递推关系式，进而得到数列的规律，即可求出{an}的通项公式．
（2）分n为偶数和n为奇数分别求和，最后再合并即可得到结论；
（3）先设，公比，得到（k，p∈N*）对任意的n∈N*均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1；再对m的取值进行讨论，即可得到所有符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式．
【解析】
（1）由，又（2分）
所以，{an}是以a1=1为首项，为公差的等差数列，即（n∈N*）（4分）
（2）当n为偶数，
所以 （6分）
当n为奇数，则n-1为偶数，（8分）
综上：（10分）
（3）设，公比，则（k，p∈N*）对任意的n∈N*均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1（12分）
当m=3时，，此时，，成立                 （13分）
当m=5时，，此时故不成立                   （14分）
m=7时，，此时，，成立                    （15分）
当m≥9时，，由，得，设，则，又因为k∈N*，所以k=1，2，此时b1=1或分别代入，得到q＜0不合题意（18分）
由此，满足条件（3）的{bn}只有两个，即或（20分）