Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，G分别是AA₁，D₁C，AD的中点．
求证：（1）MN∥平面ABCD；
（2）设α是过MN的任一平面，求证：α⊥平面B₁BG．

Answer

（Ⅰ）取CD的中点E，连接NE，AE，可证得MNEA为平行四边形，从而有MN∥AE，利用线面平行的判定定理即可证得MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）由△BAG≌△ADE易证AE⊥BG，由B1B⊥平面ABCD可得B1B⊥AE，从而可证得AE⊥平面B1BG，而MN∥AE，利用面面垂直的判定定理即可使结论得证．．
【解析】
（Ⅰ）取CD的中点E，连接NE，AE，…1′
⇒NE∥MA且NE=MA…2′
∴MNEA为平行四边形，…3′
∴MN∥AE，…4′
⇒MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）在正方形ABCD中，易证△BAG≌△ADE…7′
∴∠DAE+∠AGB=∠ABG+∠AGB=90°…8′
∴AE⊥BG…9′
又⇒B1B⊥AE…10′
⇒AE⊥平面B1BG…12′
又MN∥AE，
∴MN⊥平面B1BG，又MN⊂α，
∴α⊥平面B1BG…13′