Question

如图，A，B是单位圆上的两个质点，B点坐标为（1，0），∠BOA=60°，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作AA₁⊥y轴于A₁，过点B作BB₁⊥y轴于B₁．
（1）求经过1秒后，∠BOA的弧度数；
（2）求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间；
（3）记A₁B₁的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer

（1）只要先求A，B运动所形成的角即可求解∠BOA
（2）根据两个动点的角速度和第一次相遇时，两者走过的弧长和恰好是圆周长求出第一次相遇的时间，再由角速度和时间求出其中一点到达的位置，再根据三角函数的定义此点的坐标，利用弧长公式可求
（3）由题意可得，y=|sin（t+）-sin（-t）|=||，利用辅助角公式及正弦函数的性质可求
解（1）经过1秒后A运动的角度为1，B运动的角度为-1
∴（2分）
（2）设A、B第一次相遇时所用的时间是t，
则2t=2π．（4分）
∴t=（秒），即第一次相遇的时间为秒．（6分）
（3）由题意可得，y=|sin（t+）-sin（-t）|=||（8分）
=（10分）
当t+=k即t=k，k∈Z时，（12分）
（14分）