Question

设数列{a_n}的前n项积为T_n，已知对∀n，m∈N₊，当n＞m时，总有（q＞0是常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设正整数k，m，n（k＜m＜n）成等差数列，试比较T_n•T_k和（T_m）²的大小，并说明理由；
（3）探究：命题p：“对∀n，m∈N₊，当n＞m时，总有（q＞0是常数）”是命题t：“数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

Answer

（1）设m=1，则有，从而可得，即可证得数列{an}是等比数列；
（2）当q=1时，Tn•Tk===；当q≠1时，，，从而可得Tn•Tk=•=，根据=，n+k=2m，k＜m＜n，利用基本不等式，即可得到结论；
（3）证明：由（1）知，充分性成立；
必要性：利用q≠1时，，，可证得，同理可证，当q=1时，也成立，故得证．
（1）证明：设m=1，则有，∴
∴
∴n≥2时，
∴数列{an}是等比数列；
（2）【解析】
当q=1时，an=a1，∴，∴Tn•Tk===
当q≠1时，，
∴Tn•Tk=•=
∵=，n+k=2m，k＜m＜n
∴=，＞
∴q＞1时，Tn•Tk＞；q＜1时，Tn•Tk＜
（3）证明：由（1）知，充分性成立；
必要性：若数列{an}是公比为q（q＞0）的等比数列，则
∴q≠1时，
∴=
=•q（n-m）m=
∴
∴对∀n，m∈N+，当n＞m时，总有（q＞0是常数）
同理可证，当q=1时，也成立
∴命题p：“对∀n，m∈N+，当n＞m时，总有（q＞0是常数）”是命题t：“数列{an}是公比为q（q＞0）的等比数列”的充要条件．