Question

若对任意x∈（1，3）的实数，使得不等式2x³+3x²≥6（6x+a）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

假设f（x）=2x3+3x2-36x-6a，x∈（1，3），将问题转化为对任意x∈（1，3）的实数，使得不等式f（x）≥0恒成立．利用导数求出函数的最小值大于等于0即可．
【解析】
设f（x）=2x3+3x2-36x-6a，x∈（1，3）…（4分）
∴f′（x）=6x2+6x-36，
由f′（x）=0得x=2，x=-3．
∵x∈（1，3）
∴当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当2＜x＜3时，f′（x）＞0…（8分）
∴f（x）在x=2处取得最小值f（2）=-44-6a≥0
∴…（10分）