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若对任意x∈(1,3)的实数,使得不等式2x3+3x2≥6(6x+a)恒成立,求...

若对任意x∈(1,3)的实数,使得不等式2x3+3x2≥6(6x+a)恒成立,求实数a的取值范围.
假设f(x)=2x3+3x2-36x-6a,x∈(1,3),将问题转化为对任意x∈(1,3)的实数,使得不等式f(x)≥0恒成立.利用导数求出函数的最小值大于等于0即可. 【解析】 设f(x)=2x3+3x2-36x-6a,x∈(1,3)…(4分) ∴f′(x)=6x2+6x-36, 由f′(x)=0得x=2,x=-3. ∵x∈(1,3) ∴当1<x<2时,f′(x)<0,当2<x<3时,f′(x)>0…(8分) ∴f(x)在x=2处取得最小值f(2)=-44-6a≥0 ∴…(10分)
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考点分析:
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A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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