Question

【解析图片】已知数列{a_n}与圆C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0和圆C₂：x²+y²+2x+2y-2=0，若圆C₁与圆C₂交于A，B两点且这两点平分圆C₂的周长．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁=-3，则当圆C₁的半径最小时，求出圆C₁的方程．

Answer

本题综合考查等差数列的概念和等差数列的通项公式、等差数列的证明证明、直线和园、圆的方程等相关知识．
（1）根据两圆的交点将圆C2的周长平分可知圆C2的圆心在交点A、B的连线上，由此可得|C1C2|2=r12-r22，将二圆化为标注方程代入即得an+1和an的递推关系，由此可证数列{an}是等差数列；
（2）在（1）的基础上易得数列{an}的通项公式，以此表示圆C1的半径是关于n的二次方程，根据其最小值时的n值，可以得到圆C1的方程．
【解析】
（1）由已知，圆C1：x2+y2-2anx+2an+1y-1=0的圆心为
（an，-an+1），半径为，（2分）
圆C2：x2+y2+2x+2y-2=0的圆心为（-1，-1），
半径为r2=2，（3分）
由题意：|C1C2|2+r22=r12，（5分）
则（an+1）2+（an=1-1）2+4=an2+an+12+1，
则，所以数列{an}是等差数列；（7分）
（2）∵a1=-3，则，（9分）
则•
=，（12分）
∵n∈N+，则当n=2时，r1可取得最小值，（13分）
此时，圆C1的方程是：x2+y2+x+4y-1=0．（14分）