Question

某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据资料统计，销售收入R（万元）与报纸广告费用x₁（万元）及电视广告费用x₂（万元）之间的关系有如下经验公式：R=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28．
（1）若提供的广告费总共为5万元，求最优广告策略（即收益最大的策略，其中收益=销售收入-广告费用）；
（2）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略．

Answer

设收益为y，则y=R-x1-x2，对（1）因为广告费总共为五万元，故x1+x2=5，由此可以把收益转化为关于x1的函数，再利用相关函数的性质选取求最值的方法，求最值即可．
【解析】
设收益为y，则y=R-x1-x2，
（1）∵x1+x2=5，故x2=5-x1∈（0，5），
又x1∈（0，5），∴x1∈（0，5）
∴y=R-x1-x2=-2x12-x22+13x1+11x2-28-x1-x2
将x2=5-x1代入上式得
y=-3x12+12x1-3=-3（x1-2）2+9
当x1=2时，最大收益为9
由上知，当x1=2，x2=3时，收益最大是9万元
（2）若广告费用不受限制，由（1）知
y=R-x1-x2=-2x12-x22+12x1+10x2-28
=-2（x1-3）2-（x2-5）2+15
故当x1=3，x2=5时收益最大为15万元．