Question

如图，正四棱锥S-ABCD 的底面是边长为a正方形，O为底面对角线交点，侧棱长是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，F为SD中点，求证：BF∥平面PAC；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

Answer

（Ⅰ）连接SO，证明AC⊥BD 且SO⊥AC，从而证明AC⊥平面SBD，从而证明AC⊥SD．
（Ⅱ）连接OP，证明 OP⊥SD，BF⊥SD，从而证明OP∥BF，从而证明BF∥平面PAC．
（Ⅲ）假设存在E，使得BE∥平面PAC，过F作FE∥PC交 SC于E，则E为所要求点．先证明平面BEF∥平面PAC，从而BE∥平面PAC，==．故当 =2 时，BE∥平面PAC．
证明：如图，（Ⅰ）连接SO，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，且 O是平行四边形 ABCD的中心．（1分）
又∵SA=SC，∴SO⊥AC． （2分）
又∵SO∩BD=0，∴AC⊥平面SBD．（3分）
又∵SD⊂平面SBD，∴AC⊥SD．（4分）
（Ⅱ）连接OP，∵SD⊥平面ACP，OP⊂平面ACP，∴OP⊥SD．（5分）
又△SBD中，BD=a=SB，F为SD的中点，∴BF⊥SD，（6分）
因为OP、BF⊂平面BDF，所以OP∥BF． （7分）
又∵OP⊂平面ACP，BD⊄平面ACP，
∴BF∥平面PAC．（8分）
（Ⅲ）【解析】
存在E，使得BE∥平面PAC．
过F作FE∥PC交 SC于E，连接BE，则E为所要求点．
∵FE∥PC，FE⊂平面ACP，PC⊈平面ACP，∴FE∥平面PAC．
由（Ⅱ）知：BF∥平面PAC，而FE∩BF=F，∴平面BEF∥平面PAC． （10分）
∴BE∥平面PAC
∵OP∥BF，O为BD中点，∴P为FD中点．
又因为F为SD中点，
∴==．     （12分）
所以，在侧棱SC上存在点E，当 =2 时，BE∥平面PAC．