Question

已知数列{a_n}满足条件：．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由题意得an+1+1=2（an+1）可证数列{an+1}是以等比数列．
（Ⅱ）由（1）可求即，，结合数列的特点，故考虑利用错位相减求和
（Ⅰ）证明：由题意得an+1+1=2（an+1），…（3分）
又a1+1=2≠0．                                                 …（4分）
所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．                 …（5分）
（Ⅱ）【解析】
由（1）知即，…（7分）
故
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=1•2+3•22+5•23+…+（2n-1）2n
2Tn=1•22+3•23+5•24+…+（2n-1）2n+1…（8分）
错位相减得-Tn=2+2•22+2•23+2•24+…+2•2n-（2n-1）2n+1…（9分）
==（3-2n）2n+1-6…（11分）
从而得Tn=（2n-3）2n+1+6…（12分）