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高中数学试题
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已知数列{an},{bn}满足a1=2,2an=1+anan+1,bn=an-1...
已知数列{a
n
},{b
n
}满足a
1
=2,2a
n
=1+a
n
a
n+1
,b
n
=a
n
-1,数列{b
n
}的前n项和为S
n
,T
n
=S
2n
-S
n
.
(1)求证:数列
为等差数列,并求通项b
n
;
(2)求证:T
n+1
>T
n
;
(3)求证:当n≥2时,
.
(1)将bn=an-1代入2an=1+anan+1,可得bn的递推关系式,整理变形可得,由等差数列的定义可得为等差数列,故可求其通项公式,进而求出bn. (2)结合(1)中的结论,写出Tn+1-Tn的表达式,利用放缩法证明该差大于0即可. (3)利用叠加法把转化为++…+T2+T1+S1的形式,再结合(2)中的结论,利用Tn的单调性证明不等式. 【解析】 (1)由bn=an-1,得an=bn+1,代入2an=1+anan+1, 得2(bn+1)=1+(bn+1)(bn+1+1), ∴bnbn+1+bn+1-bn=0,从而有, ∵b1=a1-1=2-1=1, ∴是首项为1,公差为1的等差数列, ∴,即;(5分) (2)∵, ∴, ,, ∴Tn+1>Tn;(10分) (3)∵n≥2, ∴ =++…+T2+T1+S1. 由(2)知≥≥…≥T2≥T1≥S1, ∵, ∴=++…+T2+T1+S1 ≥(n-1)T2+T1+S1==.(16分)
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考点分析:
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.
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2
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2
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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