Question

给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），，已知g（x）在x=1处取极值．
（1）确定函数h（x）的单调性；
（2）求证：当1＜x＜e²时，恒有成立．

Answer

（1）由题设，知g（x）=x2-alnx，则．由g'（1）=0，知a=2于是，由此能确定h（x）的单调性．
（2）当1＜x＜e2时，0＜f（x）＜2，所以 2-f（x）＞0，欲证，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），即证．由此能够证明当1＜x＜e2时，．
【解析】
（1）由题设，g（x）=x2-alnx，则．…（2分）
由已知，g'（1）=0，即2-a=0⇒a=2．…（3分）
于是，则．由，…（5分）
所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．…（6分）
（2）当1＜x＜e2时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，所以 2-f（x）＞0…（8分）
欲证，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），即证．
设，
则．…（10分）
当1＜x＜e2时，φ'（x）＞0，所以φ（x）在区间（1，e2）上为增函数．
从而当1＜x＜e2时，φ（x）＞φ（1）=0，即，故．…（12分）