Question

若F₁、F₂为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，点P及N （2，）均在双曲线上，M在C的右准线上，且满足．
（1）求双曲线C的离心率及其方程；
（2）设双曲线C的虚轴端点B₁、B₂（B₁在y轴的正半轴上），点A，B在双曲线上，且，当时，求直线AB的方程．

Answer

（1）由题知：|OF1|=|PM|=c，∠F1OP=∠POM，故F1OMP是菱形，由双曲线第一定义：|PF2|-|PF1|=2a，|PF1|=|OF1|=c，故|PF2|=2a+c，由双曲线第二定义得：e==，解得e=2或e=-1（舍），由此能求出双曲线方程．
（2）由（1）知B1（0，3），B2（0，-3），，故直线AB过B2（0，-3），设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由，知（1+k2）x1x2-6k（x1+x2）+36=0．由此能求出直线AB的方程．
【解析】
（1）由题知：|OF1|=|PM|=c，∠F1OP=∠POM，∴F1OMP是菱形，…（1分）
∵由双曲线第一定义：|PF2|-|PF1|=2a，|PF1|=|OF1|=c，
∴|PF2|=2a+c，
∴由双曲线第二定义得：e==；
∴e=2+1，即e2-e-2=0；
解得e=2或e=-1（舍）；…（3分）
∵，∴c=2a，
∴b2=3a2
将N（2，）代入双曲线方程得 ，
∴a2=3，b2=9…（5分）
∴所求双曲线方程为…（6分）
（2）由（1）知B1（0，3），B2（0，-3），
∵，∴B2，A，B三点共线，即直线AB过B2（0，-3），
∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则．
∵，
∴x1x2+y1y2-3（y1+y2）+9=0，
∴（1+k2）x1x2-6k（x1+x2）+36=0．
将x1+x2和x1x2代入，得．
检验满足△＞0，
∴直线AB的方程为．