Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，满足关系3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，4…）
（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，b_n=f（），（n=2，3，4…），求b_n
（3）求T_n=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1）的值．

Answer

（1）由已知3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，可得3tsn-1-（2t+3）sn-2=3t，两式相减可得数列an与an-1的递推关系，从而可证．
（2）把f（t）的解析式代入bn，进而可知bn=+bn-1，判断出{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列．进而根据等差数列的通项公式求得答案．
（3）{bn}是等差数列，用分组法求得数列的b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1和．
（1）证：∵3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，3tSn+1-（2t+3）Sn=3t（n≥2），两式相减得3tan+1-（2t+3）an=0
又t＞0
∴（n≥2），
又当n=2时，3tS2-（2t+3）S1=3t，
即3t（a1+a2）-（2t+3）a1=3t，得，
即，
∴（n≥1），
∴{an}为等比数列
（2）【解析】
由已知得，f（t）=
∴bn=f（）==+bn-1（n≥2，n∈N*）．
∴{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列．
于是bn=n+
（3）【解析】
Tn=b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+b2n（b2n-1-b2n+1）=-2（b2+b4+…+b2n）
=-2d（b2+b4+…+b2n）
=
=