Question

设数列{a_n}是公差不为0的等差数列，S_n为其前n项和，数列{b_n}为等比数列，且a₁=b₁=2，S₂=5b₂，S₄=25b₃．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式a_n及b_n；
（II）设数列{c_n}满足c_n=b_nS_n，问当n为何值时，c_n取得最大值？

Answer

（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则S2=4+d，S4=8+6d，b2=2q，b3=2q2，再根据题意列方程组求出公差与公比，进而求出两个数列的通项公式．
（II）由（I）可得：Sn=2n2，所以cn=4n2．假设Cn最大，根据题意可得：n≥2，所以，即可求出n的范围求出n的具体数值．
【解析】
（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则S2=2a1+d=4+d，S4=4a1+6d=8+6d，b2=b1q=2q，b3=2q2，
根据题意可得：S2=5b2，S4=25b3，即，
解得：或者（舍去），
因为a1=b1=2，数列{an}是等差数列，数列{bn}为等比数列，
所以an=4n-2，bn=．
（II）因为Sn是等差数列{an}的前n项和，
所以Sn=2n2，所以cn=bnSn=4n2．
假设Cn最大，因为C1=4，C2=，所以C1＜C2，所以n≥2．
由Cn最大，可得：，即，
化简可得：，
解得：，
因为45，
所以8＜n＜10，所以n=9，
即当n=9时，C9最大．