Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）讨论关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数．

Answer

（1）由f（x）=xlnx，知f'（x）=lnx+1，令lnx+1=0，得x=，由此能求出f（x）的最小值．
（2）由f（x）先减后增，最小值为f（）=-，f（x）=xlnx定义域是{x|x＞0}，f（1）=0，作出函数f（x）=xlnx草图，由此能当判断关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数．
【解析】
（1）∵f（x）=xlnx，∴f'（x）=lnx+1，
令lnx+1=0，得x=，
当x＞时，f'（x）＞0，
当0＜x＜时，f'（x）＜0
所以f（x）先减后增，最小值为f（）=-．
（2）由（1）知，f（x）先减后增，最小值为f（）=-，
f（x）=xlnx定义域是{x|x＞0}，f（1）=0，
画出函数f（x）=xlnx草图，

结合图象和最小值为f（）=-，知：
当m＜-时，关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）无解；
当-＜m＜0时，关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）有两个解；
当m=-或m≥0时，关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）有唯一解．