Question

若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．根据双曲线方程，设其上一点P的坐标为P（，btanθ），其中为θ锐角，求出直线OP方程：y=x．设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），根据点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去y1，可得．因为不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足该方程，讨论这个方程解的情况，得，可得c2≤2a2，离心率满足．得到正确答案．
【解析】
由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．
设双曲线位于第一象限内一点P的坐标为（，btanθ），其中为θ锐角，
∴直线OP的斜率为k==，可得直线OP方程为y=x，
设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），
∴，消去y1得：…（*），
接下来讨论方程（*）的根的问题，
当x1=0时，，将此方程进行变量分离，得：
∵0＜sin2θ＜1
∴
而根据题意，不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足（*）式成立．
综上所述，可得，即，可得c2≤2a2，离心率
∵双曲线中，c＞a
∴离心率e＞1，可得．
故选C