Question

已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（-x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有成立，当时，f（x）=x³-3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）对x∈[-3，3]恒成立，则a的取值范围（ ）
A．a≤0或a≥1
B．0≤a≤1
C．-1≤a≤1
D．a∈R

Answer

由于函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立（g'（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意x∈R都有g（x）=g（-x），这说明函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a2-a+2）⇔|f（x）|≤|a2-a+2|对x∈[，]恒成立，只要使得|f（x）|在定义域内的最大值小于等于|a2-a+2|的最小值，然后解出即可．
【解析】
因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，
且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），
则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，
且有g|（x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a2-a+2）在R上恒成立，
∴|f（x）|≤|a2-a+2|对x∈∈[，]恒成立，
只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2-a+2|min，
由于当x∈[-，]时，f（x）=x3-3x，
求导得：f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
该函数过点（-，0），（0，0），（，0），
且函数在x=-1处取得极大值f（-1）=2，
在x=1处取得极小值f（1）=-2，
又由于对任意的x∈R都有f（ +x）=-f（x），
∴f（2+x）=-f（+x）=f（x）成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2，
所以函数f（x）在x∈[，]的最大值为2，所以令2≤|a2-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故选A