Question

如图，已知椭圆，左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若=，求直线PF₁的斜率k；
（3）若成等差数列，椭圆的离心率e，求直线PF₁的斜率k的取值范围．

Answer

（1）若，则F2为F1A的中点，从而得a、c间的等式，求得离心率；
（2）设直线PF1的方程为y=k（x+c），若=，则点B、F2到直线PF1的距离相等，利用点到直线的距离公式即可得k、b、c间的关系，再由（1）即可求得斜率k的值
（3）利用点到直线的距离公式，若成等差数列，则k=，两边平方后，利用已知离心率范围，即可求得k的范围
【解析】
（1）∵∴F1F2=F2A
∴a-c=2c
∴e=
（2）设直线PF1的方程为y=k（x+c），
∵
∴PF1•=PF1•
∴b-kc=2kc
∴b=3kc
∵a=3c，a2-b2=c2
∴b=2c
∴k=
（3）设=t，则=
∵P在第一象限∴k＞
=
∴=t
∴2t=+t
∴4kc=ak-ck+b-kc
∴k（6c-a）=b
∴k=
∴＜
∴＜e＜1
又由已知e，
∴e，
∴k2==
==  （令m=6e-1，∴e=）
==×
=×（--1）
∵e，
∴≤m＜5
∴＜≤2∴0＜k2≤
∴0＜k≤