Question

已知数列{a_n}，对于任意n≥2，在a_n-1与a_n之间插入n个数，构成的新数列{b_n}成等差数列，并记在a_n-1与a_n之间插入的这n个数均值为C_n-1．
（1）若a_n=，求C₁，C₂，C₃；
（2）在（1）的条件下是否存在常数λ，使{C_n-1-λC_n}是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；
（3）求出所有的满足条件的数列{a_n}．

Answer

（1）由题意可得a1=-2，a2=1，a3=5，a4=10，由此求得C1，C2，C3 的值．
（2）在an-1与an之间插入n个数构成等差，d==1，可得Cn-1 的值，再根据等差数列的定义求得满足条件的λ．
（3）由题意满足条件的数列{an}应满足 =，即 =，用累乘法求得an+1-an=（a2-a1）•（n+2），再用累加法求得满足条件的
数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）由题意可得a1=-2，a2=1，a3=5，a4=10，∴在a1与a2之间插入-1、0，C1=-，…1′
在a2与a3之间插入2、3、4，C2=3，…2′在a3与a4之间插入6、7、8、9，C3=．…3′
（2）在an-1与an之间插入n个数构成等差，d==1，∴Cn-1 ==．…5′
假设存在λ使得{Cn+1-λCn}是等差数列，
∵（Cn+1-λCn）-（Cn-λCn-1）=Cn+1-Cn-λ（Cn-Cn-1）=-λ•=（1-λ）n+-λ=常数，
∴λ=1时{Cn+1-λCn}是等差数列．…8′
（3）由题意满足条件的数列{an}应满足 =，…10′∴=．
∴• …•=•…•=．
∴an+1-an=（a2-a1）•（n+2），…12′
∴an-an-1=（a2-a1）•（n+1），
…
a3-a2=（a2-a1）×4，
a2-a1=（a2-a1）×3，
∴an-a1=（a2-a1）•（n≥2）
∴an=（a2-a1）（n-1）（n+4）+a1（n≥2）．…14′
又∵n=1时也满足条件，…15′
∴形如 an=a（n-1）（n+4）+b （a、b∈R） 的数列均满足条．…16′