Question

如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=，∠ABC=∠APC=90°．
（1）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（2）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值．

Answer

（1）取AC中点O，以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面PBC的法向量，利用cos=，即可求得直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（2）确定平面PAC的法向量，设M（m，n，0），求出平面PAM的法向量，利用cos==，即可求得结论．
（1）【解析】
取AC中点O，因为AB=BC，所以OB⊥OC，
∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC，∴OB⊥平面PAC
∵OP⊂平面PAC，∴OB⊥OP…1′
以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为AB=BC=PA=，所以OB=OC=OP=1，从而O（0，0，0），B（1，0，0），A（0，-1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），…2′
∴，
设平面PBC的法向量，
由得方程组，取…3′
∴cos==
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．…4′
（2）由题意平面PAC的法向量，…5′
设平面PAM的法向量为，M（m，n，0）
∵
由得方程组，取，…7′
∴cos==
∵二面角M-PA-C的余弦值为，∴=
∴，
∴n+1=3m 或 n+1=-3m（舍去）
∴B点到AM的最小值为垂直距离d=．…10′