Question

对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A（a，2a）、B（4a，4a），（其中a为正常数）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设动点T（m，0）（m＞a），直线AT、BT与抛物线C的另一个交点分别为A₁、B₁，当m变化时，记所有直线A₁B₁组成的集合为M，求证：集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．

Answer

（1）由于两点在第一象限内，故抛物线开口向右或向上，由此分两种情况利用待定系数法求得抛物线的标准方程；
（2）先将点A1、B1的坐标用a、m表示，再利用点斜式写出直线A1B1的方程，证明其斜率随m的变化而单调变化，即可证明集合M中的任意两条直线都相交，证明直线的截距不为零即可证明交点都不在坐标轴上．
【解析】
（1）当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程y2=2Px，
∵∴P=2a
∴y2=4ax
当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程x2=2py
∵∴方程无解，抛物线不存在
∴抛物线C的方程y2=4ax
（2）设A1（as2，2as）、B1（at2，2at）  T（m，0）（m＞a）
∵kTA=kTA1 ∴=
∴as2+（m-a）s-m=0
∵（as+m）（s-1）=0∴S=-
∴A1（，-2m） 
∵kTB=kTB1 ∴=
∵2at2+（m-4a）t-2m=0∴（2at+m）（t-2）=0
∴t=-∴B1（，-m） 
∴lA1B1的直线方程为y+2m=（x-）
∵直线的斜率为f（m）=-在m∈（a，+∞）单调
∴所以集合M中的直线必定相交，
∵直线的横截距为-≠0，纵截距为-≠0
∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．