Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4在x=2处取得极值，若m、n∈[-1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值为（ ）
A．-13
B．-15
C．10
D．15

Answer

令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f′（n）的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为f（m）+f′（n）的最小值．
【解析】
∵f′（x）=-3x2+2ax
函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值
∴-12+4a=0
解得a=3
∴f′（x）=-3x2+6x
∴n∈[-1，1]时，f′（n）=-3n2+6n当n=-1时，f′（n）最小，最小为-9
当m∈[-1，1]时，f（m）=-m3+3m2-4
f′（m）=-3m2+6m
令f′（m）=0得m=0，m=2
所以m=0时，f（m）最小为-4
故f（m）+f′（n）的最小值为-9+（-4）=-13
故选A