Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x
（1）若x∈[-4，-2]时，求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-4，-2]时，f（x）≥恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）先设x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]，结合已知当x∈[0，2]时，f（x）=x2-2x可求f（x+4），由f（x+4）=3f（x+2）=9f（x），代入可求f（x）
（2）由x∈[-4，-2]时，=，结合而成函数的性质可求f（x）的最小值，而由f（x）≥恒成立，可得f（x）min，解不等式可求t的范围
【解析】
（1）设x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=x2-2x
∴f（x+4）=（x+4）2-2（x+4）=x2+6x+8
又∵f（x+2）=3f（x）
∴f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）=x2+6x+8
∴
（2）∵x∈[-4，-2]时，=
当x=-2时，f（x）min=f（-3）=-
则由f（x）≥恒成立，可得-
整理可得，
∴-1≤t＜0或t≥3