Question

椭圆C：长轴为8离心率
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程．

Answer

（1）由椭圆C：长轴为8，离心率，知，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）法一：设所求直线方程为y-1=k（x-2），代入椭圆方程并整理得：（4k2+1）x2-8（2k2-k）x+4（2k-1）2-16=0，设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则，由M为AB的中点，知，由此能求出直线方程．
法二：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），M（2，1）为AB的中点，所以x1+x2=4，y1+y2=2，用点差法能求出直线方程．
法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1），则另一个交点为B（4-x，2-y），因为A、B两点在椭圆上，所以有，由此能求出直线方程．
【解析】
（1）∵椭圆C：长轴为8，离心率，
∴，
∴，b=，
∴椭圆C的标准方程为（6分）
（2）解法一：设所求直线方程为y-1=k（x-2），
代入椭圆方程并整理得：（4k2+1）x2-8（2k2-k）x+4（2k-1）2-16=0，
又设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2是方程的两个根，
于是，
又M为AB的中点，所以，
解得，（5分）
故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分）
解法二：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
M（2，1）为AB的中点，
所以x1+x2=4，y1+y2=2，
又A、B两点在椭圆上，
则，，
两式相减得，
所以，
即，（5分）
故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分）
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），
由于中点为M（2，1），
则另一个交点为B（4-x，2-y），
因为A、B两点在椭圆上，
所以有，
两式相减得x+2y-4=0，
由于过A、B的直线只有一条，（5分）
故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分）