Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面A₁B₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）求直线AC与平面AB₁D₁所成角的正切值．

Answer

（1）连接A1C1，根据正方体的几何特征，我们可以得到O1C1OA是平行四边形，即C1O∥AO1，结合线面平行的判定定理，即可得到C1O∥面A1B1D1；
（2）由正方体的几何特征，我们可根据CC1⊥平面A1B1C1D1，得到B1D1⊥A1C，同理可证AB1⊥A1C，进而根据线面垂直的判定定理得到A1C⊥面AB1D1；
（3）直线AC与平面AB1D1所成的角实际上就是正四面体ACB1D1的一条棱与一个面所成的角，结合正四面体的几何特征，易求出直线AC与平面AB1D1所成角的正切值．
证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，
连接AO1，∵ABCD-A1B1C1D是正方体
∴A1ACC1是平行四边形
∴A1C1∥AC且A1C1=AC（2分）
又∵O1，O分别是A1C1，AC的中点，
∴O1C1∥AO且O1C1=AO
∴O1C1OA是平行四边形
∴C1O∥AO1，AO1⊂平面A1B1D1，C1O⊄平面A1B1D1，
∴C1O∥面A1B1D1；

（2）∵CC1⊥平面A1B1C1D1，
∴CC1⊥B1D1，
又∵A1C1⊥B1D1，
∴B1D1⊥平面A1C1C
即B1D1⊥A1C，
同理可证AB1⊥A1C，
又B1D1∩AB1=B1，
∴A1C⊥面AB1D1；
（3）直线AC与平面AB1D1所成的角实际上
就是正四面体ACB1D1的一条棱与一个面所成的角，
余弦值为，从而正切值为．（13分）