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已知椭圆C:(a>b>0)的左右焦点F1、F2与短轴一端点的连线互相垂直,M为椭...

已知椭圆C:manfen5.com 满分网(a>b>0)的左右焦点F1、F2与短轴一端点的连线互相垂直,M为椭圆上任一点,且△MF1F2的面积最大值为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆A:x2+y2=r2(r>0)的切线l与椭圆C交于P、Q两点,且manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=0,求半径r的值.
(1)根据焦点F1、F2与短轴一端点的连线互相垂直,△MF1F2的面积最大值为1,可建立方程组,即可求得椭圆方程; (2)l斜率不存在时,l方程为x=±r,求出P、Q的坐标,利用OP⊥OQ,可求半径r的值;l斜率存在时,设l方程为y=kx+m则可得m2=r2(1+k2),联立l与椭圆方程,利用OP⊥OQ及韦达定理可求半径r的值. 【解析】 (1)椭圆中,由题意可知,∴b=c=1,∴ ∴椭圆方程为…(6分) (2)l斜率不存在时,l方程为x=±r,此时、 ∵OP⊥OQ,∴…(8分) l斜率存在时,设l方程为y=kx+m则  即  m2=r2(1+k2) 设P(x1,y1)、Q(x2,y2),联立l与椭圆方程,消元可得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-2=0…(10分) ∴ ∵OP⊥OQ,∴ ∵m2=r2(1+k2),∴3r2(1+k2)-2(1+k2)=0 ∴ 综上所述…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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