Question

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G，
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）由已知中CH⊥AB于点H，DB为圆的切线，我们易得到△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF，进而根据三角形相似，对应边成比例，根据E为CH中点，得到点F是BD中点；
（2）连接CB、OC，根据圆周定理的推论，我们易得在直角三角形BCD中CF=BF，进而求出∠OCF=90°，由切线的判定定理，得到CG是⊙O的切线；
（3）由由FC=FB=FE，易得FA=FG，且AB=BG，由切割线定理及勾股定理，我们可以求出AB的长，即圆的直径，进而得到圆的半径．
【解析】

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，
∴，
∵HE=EC，
∴BF=FD
（2）证明：连接CB、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°，
又∵OC为圆O半径
∴CG是⊙O的切线．
（3）【解析】
由FC=FB=FE得：
∠FCE=∠FEC，
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．
由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2②
由①、②得：FG2-4FG-12=0，解之得：FG1=6，FG2=-2（舍去）
∴AB=BG=4，
∴⊙O半径为2．