Question

已知集合是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．
（1）函数是否属于集合M？说明理由；
（2）若函数f（x）=kx+b属于集合M，试求实数k和b的取值范围；
（3）设函数属于集合M，求实数a的取值范围．

Answer

（1）做出所给的函数的定义域，假设这个函数属于集合，则得到方程x2+x+1=0，因为此方程无实数解，得到不存在x使得等式成立，所以函数．
（2）做出函数的定义域R，根据f（x）=kx+b∈M，则存在实数x，使得k（x+1）+b=kx+b+k+b，解得b=0，得到实数k和b的取得范围是k∈R，b=0
（3）根据所给的函数符合集合的条件，写出符合条件的关系式，得到一个关于自变量的一元二次方程，根据有解得到判别式大于0，得到结果．
【解析】
（1）根据题意得到D=（-∞，0）∪（0，+∞），若，
则存在非零实数x，使得，…（2分）
即x2+x+1=0，…（3分）
因为此方程无实数解，所以函数．…（4分）
（2）D=R，由f（x）=kx+b∈M，存在实数x，使得k（x+1）+b=kx+b+k+b，…（6分）
解得b=0，…（7分）
所以，实数k和b的取得范围是k∈R，b=0．…（8分）
（3）由题意，a＞0，D=R．由，存在实数x，
使得，…（10分）
所以，，
化简得（a2-2a）x2+2a2x+2a2-2a=0，…（12分）
当a=2时，，符合题意．…（13分）
当a＞0且a≠2时，由△≥0得4a4-8（a2-2a）（a2-a）≥0，
化简得a2-6a+4≤0，
解得．…（15分）
综上，实数a的取值范围是．…（16分）