Question

已知下面的数列和递推关系：
（1）数列{a_n}（a_n=n）有递推关系a_n+2=2a_n+1-a_n；
（2）{b_n}（b_n=n²）有递推关系b_n+3=3b_n+2-3b_n+1+b_n；
（3））{c_n}（c_n=n³）有递推关系c_n+4=4c_n+3-6c_n+2+4c_n+1-c_n；
试猜想：数列{d_n}（d_n=n⁴）的类似的递推关系    ．

Answer

将已知条件中的三个式子都化成右边等于0的等式，进行观察得到数列{xn}（xn=nk）的递推关系：+++…+=0，再取k=4代入，即可得到数列{dn}（dn=n4）的类似的递推关系式．
【解析】
根据已知条件的（1），移项得：an+2-2an+1+an=0…①，
再根据已知条件的（2），移项得bn+3-3bn+2+3bn+1-bn=0…②，
同理根据已知条件的（3），移项得cn+4-4cn+3+6cn+2-4cn+1+cn…③，
由此，归纳出第k个式子，数列{xn}（xn=nk）的递推关系：
+++…+=0，
当k=4时，得到：+++++=0
即xn+5-5xn+4+10xn+3-10xn+2+5xn+1-xn=0，得到xn+5=5xn+4-10xn+3+10xn+2-5xn+1+xn．
∴数列{dn}（dn=n4）的类似的递推关系为：dn+5=5dn+4-10dn+3+10dn+2-5dn+1+dn
故答案为：dn+5=5dn+4-10dn+3+10dn+2-5dn+1+dn