Question

定义在非零实数集上的函数f（x）满足关系式f（xy）=f（x）+f（y）且f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（2）解不等式f（x）+f（x-）≤0．

Answer

（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）可求f（1），令x=y=-1，求f（-1），令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），结合（1）的结论即可证得f（-x）=f（x）
（3）利用恒等式变f（x）+f（x-）≤0为）f[x（x-）]≤0．由（1）的结论知函数是一偶函数，由函数在区间（0，+∞）上的递增函数，即可得到关于x的不等式．
【解析】
（1）f）x）为偶函数，证明如下：
证明：令x=y=1，由f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=0
令x=y=-1，则f（0）=2f（-1）
∴f（-1）=0------------------（2分）
又令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），所以f（x）为偶函数------（5分）
（2）∵f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
∴f（x）≤0=f（1）时，0＜x≤1
又由（1）得结论-1≤x＜0
∵f（x）+f（x-）=f[x（x-）]≤0．
∴且x（x-）≠0
解可得到，或或（12分）