Question

广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧州市场，在欧债危机的影响下，欧州市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，主动投入内销产品的研制开发，并基本形成了市场规模，自2010年9月以来的第n个月（2010年9月为每一个月），产品的内销量、出口量和销售总量（内销量与出口量的和）分别为b_n、c_n和a_n（单位万件），分析销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_n+1=aa_n，c_n+1=a_n+b（其中a、b为常数），且a₁=1万件，a₂=1.5万件，a₃=1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出a_n+1与a_n满足的关系式；
（2）如果该企业产品的销售总量a_n呈现递增趋势，且控制在2万件以内，企业的运作正常且不会出现资金危机；试证明：a_n＜a_n+1＜2．
（3）试求从2010年9月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式．

Answer

（1）依题意：an+1=bn+1+cn+1=aan+an+ban2，推出a+1+b=，以及，求出a=1，b=-得到an+1=2an-an2（n∈N*）．
（2）证法（Ⅰ）利用an+1=2an-an2=-（an-2）2+2≤2．可推得a1=2与a1=1矛盾．故an+1＜2，于是an＜2，通过单调性证明an＜an+1＜2．
方法（Ⅱ）用数学归纳法证明（ⅰ）验证n=1时a1＜a2＜2成立，（ⅱ）假设n=k时，ak＜ak+1＜2成立．证明n=k+1时不等式也成立．
（3）通过an+1=2an-an2，推出{lg（2-an+1）-lg2}为等比数列，公比为2，然后求出an=2-（n∈N*）．
【解析】
（1）依题意：an+1=bn+1+cn+1=aan+an+ban2，
又a2=aa1+a1+ba12，∴a+1+b=…①
又a3=aa2+a2+ba22，∴…②
解①②得a=1，b=-从而an+1=2an-an2（n∈N*）…（4分）
（2）证法（Ⅰ）由于an+1=2an-an2=-（an-2）2+2≤2．
但an+1≠2，否则可推得a1=2与a1=1矛盾．故an+1＜2，于是an＜2，
又an+1-an=-an2+2an-an=-an（an-2）＞0，
所以an+1＞an，从而an＜an+1＜2．…（9分）
方法（Ⅱ）用数学归纳法
（ⅰ）当n=1时，a1=1，a2=1.5，显然a1＜a2＜2成立，
（ⅱ）假设n=k时，ak＜ak+1＜2成立．
由于函数f（x）=-x2+2x=-（x-2）2+2在[0，2]上为增函数，
则f（ak）＜f（ak+1）＜f（2）即ak（4-ak）＜ak+1（4-ak+1）＜×2×（4-2）
即ak+1＜ak+2＜2成立．综上可得n∈N*有an＜an+1＜2．…（9分）
（3）由an+1=2an-an2得2（an+1-2）=-（an-2）2，即（2-an+1）=（2-an）2，
又由（2）知an＜an+1＜2，可知2-an+1＞0，2-an＞0，
则lg（2-an+1）=2lg（2-an）-lg2，∴lg（2-an+1）-lg2=2[lg（2-an）-lg2]
即{lg（2-an+1）-lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg（2-a1）-lg2=-lg2
故lg（2-an）-lg2=（-lg2）•2n-1，∴an=2-（n∈N*）为所求．…（13分）