Question

已知函数f（x）=x-ln（x+1）-1，则f（x）（ ）
A．没有零点
B．有唯一零点
C．有两个零点x₁、x₂，且-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2
D．有两个零点x₁、x₂，且1＜x₁+x₂＜3

Answer

函数零点的判定定理即零点的存在条件，对一个函数零点的存在性常用导数求出函数的极值及各个区间的上的单调性借助图形来确定函数零点的位置及零点的个数，故解决本题要先对函数求导，讨论其极值到到的位置、正负以及各个区间上的单调性，由图象变化规律结合零点存在定理确定正确选项．
【解析】
由题设函数的定义域为（-1，+∞）；
又f'（x）=1-，令1-=0得，x=0
当x＜0时，f'（x）=1-＜0，
当x＞0时，f'（x）=1-＞0，
故函数f（x）=x-ln（x+1）-1在（-1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数
又f（0）=-1＜0，即一个零点在（-1，0）上；
f（1）=-ln2＜0，f（2）=1-ln2＜0，f（3）=2-ln4＞0，另一个零点在（2，3）上；
则1＜x1+x2＜3
故选D．